Introdução à Probabilidade e Estatística

Vivemos num mundo regido pelo acaso e sem exatidão dos acontecimentos. Quantas vezes na vida não fomos surpreendidos por eventos que não pudemos prever os acontecimentos? Por exemplo, uma chuva inesperada, aquele time de futebol que todos consideravam fraco e acabou sendo campeão, um recorde batido por alguém inesperado, etc. São muitas situações, inclusive em eventos que ocorrem em nossa vida pessoal, que somos surpreendidos (tanto positivamente quanto negativamente) pelo acaso!

Com tantas coisas acontecendo de forma tão aleatória e sem exatidão dos resultados, utilizamos de probabilidade e estatística na tentativa de agrupar, testar e prever as possibilidades de um ou mais determinados eventos ocorrer. Qual a probabilidade de eu ou você ganharmos na loteria? E de cair um raio em casa? É isso que esta ciência preocupa-se responder. Então, vamos começar com alguns conceitos básicos.

Básico do Básico

Para começar, vamos entender a fórmula base para cálculo de probabilidade de um evento. É a razão entre as possibilidades de saídas buscadas (denominador) e o total de possibilidades

Total de saídas buscadas / Total de possibilidades

Por exemplo: Imagine que rolamos um dado de seis lados. Qual a possibilidade de vir o número 2? Temos 6 saídas possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6) e somente uma delas representa vir o número 2. Então, substituindo na fórmula acima, teremos:

1 / 6 =~ 0,166 (ou transformando em porcentagem 16,6%)

Temos 1 chance em 6, ou 16,6% aproximadamente de chances deste evento ocorrer.

Outro exemplo: Um pote contém que contenha 10 bolas vermelhas, 20 bolas azuis e 20 bolas verdes misturadas. Qual a probabilidade de um eventual sorteio sair uma bola vermelha?

Ora, temos 50 possibilidades ao todo e 10 de sair uma bola vermelha. Logo:

10 / 50 = 1 / 5 =(0,2 ou 20%)

Temos então 20% de chances de tirar uma bola vermelha

Simples né?

Agora, vamos introduzir novos conceitos.

Eventos e Complementos

Vamos utilizar o primeiro exemplo para indicar os termos técnicos.

No exemplo acima que utilizamos um dado, as seis possibilidades acima (o total de possibilidades de saída) são conhecidas como espaço amostral (geralmente representado pela letra S).

Já a saída que queremos buscar é conhecida como evento. Um evento é um subconjunto do espaço amostral (geralmente representado por qualquer letra A,B,C etc). Utilizando o nosso exemplo, tirar 2 ao jogar um dado seria um evento (com somente um caso de ocorrer, pois somente um dos lados do dado tem o valor 2).

Agora, se quisermos saber a probabilidade deste evento ocorrer, poderia-se aplicar a fórmula mencionada na seção “Básico do básico” deste post (evento / espaço amostral).

Vamos ver outro exemplo para um melhor entendimento. Qual a probabilidade de tirarmos uma carta de naipe espada de um baralho francês?

Para quem não é familiarizado, um baralho frânces possui 52 cartas, sendo possível 4 naipes diferentes (paus (♣), ouros ( ), copas (♥) e espadas (♠)). Cada naipe, possui um conjunto idêntico de cartas entre eles: K, Q, J, A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. (não considerando os coringas)

Ou seja, cada nipe possui 13 possibilidades (um para cada número/letra). Vamos então chamar de evento A, a possibilidade de tirar uma carta com o naipe de espadas.

Evento A: Puxar uma carta com o naipe espada. Logo:

P(A) = 13 / 52 = 1 / 4 (25%) -> Temos 25% de chance de tiramos uma carta com naipe espada.

E as possibilidades que não possuem naipe de espadas? Chamamos isso de COMPLEMENTO DE A, o qual representa tudo que não estiver em A (ou seja, tudo que nao for A). Em outras palavras, quaisquer cards que possuem o naipe de ouros, copas e paus.

Sabemos também que a soma de tudo que possuir naipe de espadas e que não possuir este naipe, necessariamente corresponde à todas as possibilidades de saída possíveis (ou o espaço amostral). Logo, podemos dizer que a soma de A com o complemento de A corresponde à 100% (que pode ser representado por 1). Aplicando isso: o complemento de A então é a diferença entre todas as saídas possíveis (100% -> 1) e o evento A (no exemplo, 13/52 ou 1/4). Logo:

P(A) + P(!A) = 1
P(!A) = 1- P(A)
P(!A) = 1– 1 /4
P(!A) = 3 / 4 (75%) -> Temos 75% de chance de tirarmos uma sem naipe espada

Intersecção de Eventos

Imagine que temos cinco formas: triângulo, quadrado, retângulo, losango e círculo.

E temos cinco cores: amarelo, azul, vermelho, branco e preto.

Logo, o espaço amostral (S) é 25.

S = 5 cores * 5 figuras = 25

Vamos agora propor uma série de eventos:

Eventos
A: Ser uma figura azul
B: Ser um quadrilátero
C: Ser uma figura branca

Qual a chance de termos um quadrilátero azul?

Bom, através da pergunta acima, são necessários que os eventos A (figura azul) e B (quadrilátero), sejam satisfeitos.

A partir disso, vamos responder cada indagação passo a passo.

1. Calculando a probabilidade do evento A

Para cada figura, temos uma cor. Então temos cinco possibilidades de saída:

* Triângulo Azul
* Quadrado Azul
* Retângulo Azul
* Losango Azul
* Círculo Azul

Se temos o número de saídas desejadas (5) e o total de possibilidade(25), é só calcular a probabilidade conforme a regra “básico do básico”:

P(A) = 5/ 25 (0,2 ou 20%)

Logo, temos 20% de chance da figura ser azul.

2. Calculando a probabilidade do evento B

Por conceito, um quadrilátero é um polígono de quatro lados. No conjunto de formas acima, temos três figuras que se encaixam nessa característica: quadrado, retângulo e losango.

Sabemos também que o espaço amostral(S) é 25, então para calcular as saídas evento B, basta fazer uma simples multiplicação:

B = 3 (quantidade de formas que são quadriláteros) * 5(número de cores)
B = 15

Agora é só calcular a probabilidade do evento B:

P(B) = 15/ 25 = 3 / 5 (0,6 ou 60%)

Logo, temos 60% de chance da figura ser um quadrilátero

3. Calculando a probabilidade do evento A e evento B

Mas dentre as cores azuis, qual a possibiildade de termos um quadrilátero? Vamos utilizar a lógica e a intuição primeiramente para resolver esta questão.

Sabemos que há cada 25 itens, 5 possuem a cor azul. Ora, se temos um quadrado, um retângulo e um losango dentro deste conjunto, logo a possibilidade é 3 para 25.

Por isso, quando temos a intersecção (ou são eventos independentes) podemos multiplicar as probabilidades.

P(A ^ B) = (3 / 5) * (1 / 5)
P(A ^ B) = 3 / 25 (0,12 ou 12%)

Isso em teoria de conjuntos, também representa a intersecção entre os conjuntos dos eventos A e B.

Eventos Mutuamente Exclusivos

Utilizando o exemplo acima, qual a possibilidade da figura ser azul e vermelha?

Ora, sabemos que a figura pode possuir somente uma cor, independente de qualquer outra coisa. Logo, sabemos que a probabilidade disto ocorrer é zero.

Isso é nomeado como Eventos Mutuamente Exclusivos

P(A ^ C) = 0-> não há intersecção entre os eventos A e C

União de Eventos (Múltiplos Eventos)

Utilizando o exemplo acima, qual a probabilidade da figura ser branca ou um quadrilátero?

Como já temos a probabilidade do evento A e o evento C segue a mesma linha de raciocínio do cálculo do evento B, já temos as probabilidades individuais de cada evento:

P(A) = 5/ 25 (0,2 ou 20%)
P(C) = 15/ 25 = 3 / 5 (0,6 ou 60%)

Intuitivamente, apenas bastaria somar as possibilidades (dando 80%) e estaria tudo certo, né?

A resposta é NÃO! Isso estaria certo se os eventos fossem MUTUALMENTE EXCLUSIVOS, o que não é o caso. Mas como assim?

Ok, vamos lá. A pergunta que queremos responder é: “ Qual a probabilidade da figura ser branca ou um quadrilátero?”

Para o evento A (cor branca) temos as seguintes possibilidades:

* Triângulo Branco
* Quadrado Branco
* Retângulo Branco
* Losango Branco
* Círculo Branco

Para o evento B (quadrilátero), temos as seguintes possibilidades:

* Quadrado Azul, Losango Azul, Retângulo Azul
* Quadrado Vermelho, Losango Vermelho, Retângulo Vermelho
* Quadrado Amarelo, Losango Amarelo, Retângulo Amarelo
* Quadrado Verde, Losango Verde, Retângulo Verde
* Quadrado Branco, Losango Branco, Retângulo Branco

Se simplesmente somarmos os dois eventos, temos coisas repetidas (deixei em negrito os itens que se repetem no evento A e no evento C). Estamos contando DUAS VEZES a intersecção entre os dois (quando não são mutualmente exclusivos, sempre haverá intersecções).

Removendo estes casos repetidos (3 casos para 25), teremos a solução.

P(A U C) = (5 / 25) + (3 / 5)- (3 / 25)
P(A U C) = 2 / 25 + 15 / 25
P(A U C) = 17 / 25 (0,68 ou 68%)

Note que os casos repetidos representa o mesmo valor da intersecção dos eventos ( P(A ^ C)).

Então quando queremos calcular a UNIÃO entre eventos que não são mutuamente exclusivos, podemos aplicar a seguinte fórmula:

P(A U B) = P(A) + P(B)- P(A ^ B)